Geometría Analítica

Página hecha por estudiantes de la Escuela Nacional Preparatoria No. 9 Pedro de Alba para el curso de Matématicas de 5° grado. En este blog se explica el tema de distancia entre dos puntos enfocado en los puntos en el espacio

¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio?

Supongamos que tenemos dos puntos sobre el mismo eje, ya sea x o y.



Para medir la distancia, en este caso de los ejes x lo que hacemos es asignar los nombres a cada punto (x1 y x2). Luego tomamos los valores y hacemos una resta. Así x1 – x2 = dx



















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Lo mismo ocurre con y

Y2 - Y1 = dy






















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Ahora, supongamos que tenemos 2 puntos sobre el plano llamados (x1 y1) y (x2 y2), respectivamente.



















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Si nos damos cuenta al trazar dos rectas, una con respecto al eje x y otra al eje y que pasen por nuestros puntos, tenemos un triángulo rectángulo, donde la línea que forman nuestros puntos es la hipotenusa.



















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Así usando la fórmula del teorema de Pitágoras, para triángulos rectángulos tenemos que


Donde a y b son los dx y dy por lo que


Despejando la fórmula queda así


Ahora tomando en cuenta otra dimensión (z)



Ahora ponemos dos puntos en este espacio. Cada punto ahora constara de tres dimensiones (x, y, z).



¿Cómo medir la distancia de P1 a P2 ?



Observemos que al trazar una recta que se paralelo a cualquiera de los ejes, intercepta con un plano. Lo mismo ocurre con el otro punto.



Y ahora veamos que al unirlo con otro punto tenemos un triángulo rectángulo.



Ahora medimos la distancia de esos puntos, con la formula de distancia en el plano que es


Obtendremos la distancia, y si ocupamos esa distancia con respecto a otro eje usándola como un cateto, de otro triángulo rectángulo. Así al obtener la hipotenusa del triángulo, obtenemos la distancia, de P1 a P2. Esto puede abreviarse con la fórmula siguiente


Despejando



Donde (X2-X1)2+(Y2-Y1)2, representa lo primero que hicimos, con la fórmula de distancia, y +(Z2-Z1)2 es la siguiente dimensión, y la segunda vez que utilizamos la fórmula, se vuelve una dimensión ya que (X2-X1)2+(Y2-Y1)2 es otro eje (como x o y).



















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Ahora medimos la distancia de esos puntos (triángulo 1), con la fórmula de distancia en el plano. Obtendremos la distancia, y si ocupamos esa distancia con respecto a otro eje usándola como un cateto, de otro triángulo rectángulo. Volvemos a usar la fórmula de distancia en dos puntos (triángulo 2). Así al obtener la hipotenusa del triángulo, obtenemos la distancia, de P1 a P2.

También puedes revisar estas animaciones complementarias dando click en la imagen.