Distancia entre puntos en el espacio

Distancia entre dos puntos

2010-04-19T23:55:00.000-07:00

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas.
Con la geometría analítica se puede encontrar y determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Uno muy importante y fundamental es: la distancia entre dos puntos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo:
La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Recordemos como se calcula la distancia entre dos puntos.

Para hacer los cálculos, puede serte útil este applet.

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Distancia entre dos puntos en un espacio tridimensional

2010-04-19T23:54:00.000-07:00

Los razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente válidos para un punto en el espacio y un grupo de ordenadas de números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes x e y: el eje z. Resultando una única ecuación lineal del tipo:
ax + by + cz = 0

Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como intersección de dos planos. Así una recta en el espacio podría quedar representada como:
Si bien, por el momento se ha trabajado únicamente con dos variables, el incluir una variable más (z), implica la ampliación del sistema de coordenadas y el establecimiento de ciertas reglas para la graficación tridimensional.
El sistema tridimensional de coordenadas rectangulares se forma a partir de tres ejes perpendiculares entre sí, de manera que existe un eje que se proyecta hacia delante, es decir, que se "sale" del papel.
Al igual que en el dibujo tridimensional, los ejes se pueden trazar como una vista en isométrico o axonométrico.
Para la representación de puntos y elementos dentro de un sistema coordenado tridimensional se requiere una unidad o escala. Si la representación se hace en un sistema isométrico, las unidades tendrán la misma longitud en los tres ejes, sin embargo, cuando se utilice el sistema axonométrico se recomienda entonces que la unidad que representa el eje "x", es decir, la que se "proyecta" hacia el observador, debe tener aproximadamente 0.7 unidades de longitud.

La utilidad del uso de la distancia entre dos puntos

2010-04-19T23:51:00.000-07:00

Es importante la aplicación y la gran importancia de conocer este concepto, esto debido a que se puede ocupar para diversas tareas de la vida cotidiana. Algunos ejemplos son los siguientes:

Para conocer la medidas de un lote en venta, es muy útil para saber las medidas de dicho lote el gasto para cercarlo etc.

Conocer la distancia que hay entre una ciudad a otra ó entre un país y otro, esto para determinar el tiempo estimado para llegar a dicho lugar, los costos de transporte (en este caso si es un automóvil propio la cantidad de gasolina que se utilizará etc).

Para las personas que les gustan practicar deportes extremos como escalar montañas, descender de una a gran velocidad etc. Les podría servir para conocer la distancia que hay desde el inicio hasta el final de la pista para conocer el tiempo que les llevaría recorrer esa distancia, para mejoras y poder ser más veloces.

También se puede utilizar en el espacio exterior para conocer las distancia que hay entre un planeta a otro, un sistema solar a otro entre otras cosas.

Al igual como conocer las distancias y el tiempo que tarda un cometa en llegar a un determinado lugar para ser observado.

Y para un futuro porque no para conocer los gastos para poder viajar por el espacio, conociendo la distancia.

Para cálculos en ciencias, un ejemplo de distancias en el espacio es en la química o mineralogía, para saber las dimensiones de las estructuras cristalinas de los minerales o cristales, en ellos se usa el plano isométrico. O en la física para el cálculo de vectores.

Nos intereso demostrar este porque a parte de ser un principio muy básico y útil para la vida, es importante que las personas que se interesen y las que tengan problemas con algo relacionado con esto, consideren los principios que se necesitan para comprender el cómo funcionan las cosas a nuestro, considerando siempre la importancia que ejerce la geometría a lo largo de la vida y el valor como una ciencia indispensable para el ser humano.

¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio?

2010-04-19T23:50:00.001-07:00

Supongamos que tenemos dos puntos sobre el mismo eje, ya sea x o y.

Para medir la distancia, en este caso de los ejes x lo que hacemos es asignar los nombres a cada punto (x₁y x₂). Luego tomamos los valores y hacemos una resta. Así x₁– x₂= d_x

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Lo mismo ocurre con y

Y₂- Y₁= d_y

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Ahora, supongamos que tenemos 2 puntos sobre el plano llamados (x₁ y₁) y (x₂ y₂), respectivamente.

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Si nos damos cuenta al trazar dos rectas, una con respecto al eje x y otra al eje y que pasen por nuestros puntos, tenemos un triángulo rectángulo, donde la línea que forman nuestros puntos es la hipotenusa.

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Así usando la fórmula del teorema de Pitágoras, para triángulos rectángulos tenemos que

Donde a y b son los d_x y d_y por lo que

Despejando la fórmula queda así

Ahora tomando en cuenta otra dimensión (z)

Ahora ponemos dos puntos en este espacio. Cada punto ahora constara de tres dimensiones (x, y, z).

¿Cómo medir la distancia de P₁ a P₂ ?

Observemos que al trazar una recta que se paralelo a cualquiera de los ejes, intercepta con un plano. Lo mismo ocurre con el otro punto.

Y ahora veamos que al unirlo con otro punto tenemos un triángulo rectángulo.

Ahora medimos la distancia de esos puntos, con la formula de distancia en el plano que es

Obtendremos la distancia, y si ocupamos esa distancia con respecto a otro eje usándola como un cateto, de otro triángulo rectángulo. Así al obtener la hipotenusa del triángulo, obtenemos la distancia, de P₁ a P₂. Esto puede abreviarse con la fórmula siguiente

Despejando

Donde (X₂-X₁)²+(Y₂-Y₁)², representa lo primero que hicimos, con la fórmula de distancia, y +(Z₂-Z₁)² es la siguiente dimensión, y la segunda vez que utilizamos la fórmula, se vuelve una dimensión ya que (X₂-X₁)²+(Y₂-Y₁)² es otro eje (como x o y).

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Ahora medimos la distancia de esos puntos (triángulo 1), con la fórmula de distancia en el plano. Obtendremos la distancia, y si ocupamos esa distancia con respecto a otro eje usándola como un cateto, de otro triángulo rectángulo. Volvemos a usar la fórmula de distancia en dos puntos (triángulo 2). Así al obtener la hipotenusa del triángulo, obtenemos la distancia, de P₁ a P_2.

También puedes revisar estas animaciones complementarias dando click en la imagen.

Ejemplo

2010-04-19T23:49:00.001-07:00

Hallar las coordenadas de los puntos de trisección y el punto medio del segmento P₁ (1, -3, 5) y P₂ (-3, 3, -4). Solución:

Sean A₁ y A₂ los puntos de trisección y M el punto medio de P₁, P₂.
Para A₁ tenemos
Para A₂ tenemos
Por tanto, para el punto A₁, por el teorema 2 anterior:

Análogamente, para el punto A₂, tenemos:

Las coordenadas del punto medio son:

Ejercicios

2010-04-19T23:43:00.000-07:00

1 Hallar la distancia entre los puntos P₁ (-1, -2, 2) y

P₂ (2, 4, -1).

2 Demostrar que los puntos

P₁(-2, 4, -3), P₂(4,-3,-2) y

P₃ (-3. -2, 4) son los vértices de un triángulo equilátero.

3 Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son

A (-2, -3, -2), B (-3, 1, 4) y

C (2, 3, -1).

4 Calculando ciertas distancias, demostrar que los tres puntos

(2, 0, -1), (3, 2, -2) y (5, 6, -4) son colineales.

5 Determinar la distancia desde un punto cualquiera P(x,y, z) a cada uno de los planos y ejes coordenados, y al origen. Ordénese los resultados en una tabla y obsérvese la simetría en las letras x, y, z.

6 Hallar la ecuación algebráica que expresa el hecho de que la distancia del punto (x, y, z) al punto (2, 1, 4) es igual a 5. ¿Qué representa esta ecuación?